Заслуженный артист РСФСР (16.10.1989).
Народный артист России (28.10.2002).
В четыре года остался без отца: 36-летний актёр Владимир Клюев на гастролях слёг с сердечным приступом и умер в больнице. Борис не был прилежным учеником и от окончательного падения его спасла актриса Клавдия Половикова (мама актрисы Валентины Серовой), которая поставила в школе спектакль "Чертова мельница". После премьеры юный артист, сыгравший черта первого разряда, проснулся местной знаменитостью.
Мечта поступить в Щукинское училище, которое закончил отец, не осуществилась - сдал все экзамены, но в администрации предложили забрать документы из-за предстоящего призыва в армию.
Клюев, не теряя времени, перешел в училище им. Щепкина. Правда, от трех лет военной службы это не уберегло.
В 1969 году окончил Театральное училище имени М.С. Щепкина (курс Л.А. Волкова). С этого же года - актёр Малого театра.
На протяжении многих лет преподавал в Щепкинском училище мастерство актёра. Руководл курсом и имел учёное звание профессора.
Широкую популярность у массового зрителя приобрел благодаря блистательному исполнению роли Николая Петровича Воронина в комедийном сериале "Воронины" (2009-2015, Премия ТЭФИ-2011 в номинации "за лучшую мужскую роль").