Веселкин вел популярные программы «До 16 и старше», «Царь горы» и «Детский час», играл в театре, позже стал работать на радио «Маяк».
По словам коллеги Веселкина Сергея Стиллавина, год назад у Веселкина диагностировали серьёзное заболевание.
«Лёша очень мужественно и с верой в победу с этим злом боролся.
До последней недели говорил, что после очередной химии надо набираться сил и возвращаться к нормальной жизни», — написал Стиллавин.
Весёлкин скончался вечером 26 марта в своей квартире на Пятницком шоссе. Ему было 63 года.