Родился 10 августа 1929 года в Благовещенске Амурской области, в семье военного.
Заслуженный артист РСФСР (12.06.1964).
Народный артист РСФСР (1969).
Народный артист СССР (1988).
Отец - Стриженов Александр Николаевич (1899—1978), воевал на фронтах Гражданской и Великой Отечественной войн. Мать — Стриженова Ксения Алексеевна (1899—1971) окончила Петербургскую Мариинскую гимназию и Смольный институт. Супруга — Пырьева Лионелла Ивановна (1938 г.р.), известная киноактриса, заслуженная артистка России.
Старший брат — Стриженов Борис Александрович, лейтенант Советской армии, лётчик-истребитель, погиб под Сталинградом в 1942 году. Средний брат - Стриженов Глеб Александрович (1925-1985), известный актёр, участник Великой Отечественной войны, окончил Школу-студию МХАТ, заслуженный артист РСФСР.
В 1953 году, окончив Театральное училище имени Б. В. Щукина, стал актёром Государственного русского драматического театра в Таллине (Эстонская ССР). На сцене этого театра он сыграл роль Незнамова в спектакле «Без вины виноватые» — эту роль впоследствии в течение 10 лет он играл с большим успехом на сцене МХАТ имени Горького.
В 1963-1976 - актер МХАТ им. М. Горького.
Дебют в кино - в 1954 году, главная роль в кинофильме «Овод» («Ленфильм», 1955, режиссёр А. М. Файнциммер).
Александр Довженко пригласил Стриженова на роль Андрия в экранизацию «Тараса Бульбы», которую вынашивал много лет, считая своим самым сокровенным замыслом. К несчастью, Александр Петрович вскоре умер, так и не приступив к съёмкам; роль Андрия осталась несыгранной...
Следующим фильмом был «Сорок первый» (1956) Г. Н. Чухрая. В этой картине Стриженов исключительно точно воплотил сложный внутренний мир белого офицера.
Среди лучших ролей - Афанасий Никитин в первом совместном советско-индийском фильме «Хождение за три моря» (1957, режиссеры В. М. Пронин и Х. А. Аббас; в индийском прокате — «Чужестранец»), Мечтатель в фильме "Белые ночи" (1959), Герман в "Пиковой даме" (1960), летчик Сергей Егоров в мелодраме режиссеров В. Краснопольского и В. Ускова "Неподсуден" (1969), Александр Гагарин в картине "Вместо меня" (2000).